PÁGINAS VISTAS HASTA HOY

MATEMÁTICAS DÉCIMO

Hola: POR EL MOMENTO ESTA EN CONSTRUCCION 
Para mejorar este blog estoy realizando algunos cambios por la nueva reforma curricular. Muy pronto estara listo este proyecto.

Cuestionario para la evalucion del segundo quimestre.



1.- Realizar las siguientes operaciones con potencias: 

   (−2)2 · (−2)3 · (−2)4 =



2.- Escriba una V (verdadero) o la F (falso) en el casillero de la derecha de las siguientes afirmaciones, según corresponda.

1.-     3(4x + 1 ) =  3(4x) + 3(1) = 12x + 3     Propiedad distributiva de la multiplicación



2.-               + a  =   2a + a  =   3a        Simplificación de expresiones




3.- Los términos de la potenciación son: Base, exponente y potencia



4.- El coeficiente del siguiente monomio 6b3c5 3 es  igual a 18


5.-    7a – 15 = 2a          Ecuación de segundo grado  con una incógnita






3.-   Una con una línea lo correcto:

Producto notable

Expresión algebraica


Nombre
(a + b)2
=
a2 + 2ab + b2


Diferencia cuarta
(a + b)3
=
a3 + 3a2b + 3ab2 + b3


Binomio al cubo
a2 - b2
=
(a + b) (a - b)


Diferencia de cuadrados
a3 - b3
=
(a - b) (a2 + b2 + ab)


Diferencia de cubos
a3 + b3
=
(a + b) (a2 + b2 - ab)


Binomio al cuadrado
a4 - b4
=
(a + b) (a - b) (a2 + b2)


Trinomio al cuadrado
(a + b + c)2
=
a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc


Suma de cubos

4.- ENCIERRE EN UN OVALO LA RESPUESTA CORRECTA:
a) Resuelva la ecuación  2 + 3x = 5x - 6
a)      X = - 4
b)       X = 4
c)        X = 2
 B) Carlos le dice a un compañero: El doble de mi edad  más 3 es igual al triple de mi edad menos 13, ¿Qué edad tiene Carlos? 
En este caso la ecuación que se plantea es:   2x + 3 = 3x -13 
a)      15 años
b)      20 años
c)       16 años
d)      18 años



5.-  PROBLEMAS:-  La suma de los ángulos de un triángulo cualquiera es siempre 180°. Sabiendo  que un triángulo rectángulo es aquel que tiene un ángulo de 90°. Por tanto, la suma de los dos ángulos agudos de un triángulo rectángulo es: 180o -  90o = 90°. Completa las líneas de puntos siguientes:
• Si un ángulo agudo de un triángulo rectángulo mide 60°, el otro mide ……........
• Si un ángulo agudo de un triángulo rectángulo mide 30°, el otro mide.....................
• Si un ángulo agudo de un triángulo rectángulo mide 45°, el otro mide.....................
7.- GRAFIQUE  Dado los siguientes datos represente gráficamente la ecuación   X + Y = 7

X
Y = 7 -  X
1
6
2
5
5
2



6.-   Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones de 2 x 2 por el método de sustitución


    a + b  = 1
   3a + b = 7

Respuestas:

a)   a = 3, b = 0

b)  a = 3, b  = 2

c) a  = 3, b  = −2


 7.- Asocia a  uno de estos problemas el sistema de ecuaciones que usarías para resolverlo:

Mercedes y Carlos son hermanos y entre los dos suman 19 años. Sabiendo que la edad de Mercedes menos uno es igual a la mitad de la edad de Carlos. 

a)        
b)    
c)    




8.-  Ordene el proceso correcto para la  resolución de un sistema de ecuaciones mediante el método gráfico 
a) Se representan gráficamente ambas rectas en los ejes coordenados en el plano cartesiano.
b) Se despeja la incógnita y en ambas ecuaciones.
c)        Se construye, para cada una de las dos funciones de primer grado obtenidas, la tabla de valores correspondientes.

d)       En este último paso hay tres posibilidades:
1.        Si ambas rectas se cortan, las coordenadas del punto de corte son los únicos valores de las incógnitas x e ySistema compatible determinado.
2.        Si ambas rectas son coincidentes, el sistema tiene infinitas soluciones que son las respectivas coordenadas de todos los puntos de esa recta en la que coinciden ambas. Sistema compatible indeterminado.
3.        Si ambas rectas son paralelas, el sistema no tiene solución. Sistema incompatible.
Respuestas:
a, b, c, d
a, d, c, b
c, d, b, a
b, c, a, d



9.- Calcula las razones trigonométricas del ángulo C del siguiente triángulo


  En este ejercicio  no tenemos valores de  los tres lados, falta uno de los catetos y para calcularlo  utilice  el Teorema de Pitágoras.
Lo primero ponerle nombre a los lados con letras minúsculas a los lados que están enfrente del ángulo con la correspondiente letra mayúscula;    es decir a = 14 m,   b = 8 m y c es el lado que queremos calcular
Aplicando el Teorema de Pitágoras y calculando las razones trigonométricas  tenemos:







10.- Considérense los siguientes datos: 3, 8, 3, 3, 2, 8, 5, 8, 6, 2, 6, 4 ,3 ,2 2, 3, 4, 2,8, 10, 8. 4, 10, 6, 2. Se pide:
a)     Construya una tabla de frecuencias
b)    Calcule la media aritmética y
c)     Calcule el porcentaje de frecuencias.

11.- Una con una línea lo correcto.


Una función cuadrática es una función polinómica de segundo grado que se escribe : f(x) = ax2 + bx + c






Tabla de valores


Una función lineal es una función polinómica de primer grado, en un gráfica se representa como una línea recta y se escribe: f(x) = mx + b.






tipos de funciones:







TUTORIA RAZONES Y FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

DEFINICIÓN.


Razones trigonométricas en un triángulo rectángulo


gráfica


Seno: Seno del ángulo B: es la razón entre el cateto opuesto al ángulo y la hipotenusa.
Se denota por sen B.
razones
Coseno: Coseno del ángulo B: es la razón entre el cateto contiguo al ángulo y la hipotenusa.
Se denota por cos B.
razones
Tangente: Tangente del ángulo B: es la razón entre el cateto opuesto al ángulo y el cateto contiguo al ángulo.
Se denota por tg B
razones
Cosecante: Cosecante del ángulo B: es la razón inversa del seno de B.
Se denota por cosec B.
razones
Secante
Secante del ángulo B: es la razón inversa del coseno de B.
Se denota por sec B.
razones
Cotangente
Cotangente del ángulo B: es la razón inversa de la tangente de B.
Se denota por cotg B.

razones



RAZONES TRIGONOMÉTRICAS

Razones trigonométricas en una circunferencia

Se llama circunferencia goniométrica a aquélla que tiene su centro en el origen de coordenadasy su radio es la unidad.
En la circunferencia goniométrica los ejes de coordenadas delimitan cuatro cuadrantes que se numeran en sentido contrario a las agujas del reloj.
QOP y TOS son triángulos semejantes.
QOP y T'OS′ son triángulos semejantes.


El seno es la ordenada.
El coseno es la abscisa.
-1 ≤ sen α ≤ 1
-1 ≤ cos α ≤ 1
dibujo

razones
razones

razones







EJEMPLOS Y EJERCICIOS




SIGNOS DE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS 


Signo de las razones trigonométricas


gráfica


Tabla de razones trigonométricas

tabla

Relaciones entre las razones trigonométricas

cos² α + sen² α = 1
sec² α = 1 + tg² α
cosec² α = 1 + cotg² α


Relaciones entre las razones trigonométricas de algunos ángulos

Ángulos complementarios

Razones
Razones
Razones

Ángulos suplementarios

Razones
Razones
Razones

Ángulos que difieren en 180°

razones
Razones
Razones

Ángulos opuestos

Razones
Razones
Razones

Ángulos negativos

Razones
Razones
Razones

Mayores de 360º

Razones
Razones
Razones

Ángulos que difieren en 90º

Razones
Razones
Razones

Ángulos que suman en 270º

Razones
Razones
Razones

Ángulos que difieren en 270º

Razones
Razones
Razones


Razones trigonométricas de la suma y diferencia de ángulos

Suma y diferencia de ángulos
Suma y diferencia de ángulos
Suma y diferencia de ángulos
Suma y diferencia de ángulos
Suma y diferencia de ángulos
Suma y diferencia de ángulos


Razones trigonométricas del ángulo doble

Ángulo doble
Ángulo doble
Ángulo doble


Razones trigonométricas del ángulo mitad

Ángulo mitad
Ángulo mitad
Ángulo mitad


Transformaciones de sumas en productos

Transformaciones de sumas en productos
Transformaciones de sumas en productos
Transformaciones de sumas en productos
Transformaciones de sumas en productos


Transformaciones de productos en sumas

Transformaciones
Transformaciones
Transformaciones

Transformaciones
BIBLIOGRAFIA. 

http://www.vitutor.com/al/trigo/tri_2.html
http://www.aritor.com/trigonometria/razones_trigonometricas.html

TUTORIA EL SISTEMA DE ECUACIONES DE 2 X 2  METODOS PARA SU REALIZACION
 SISTEMAS DE ECUACIONES 2X2 PROBLEMAS


Muchos problemas que requieren la determinación de dos o más cantidades desconocidas pueden ser resueltos por medio de un sistema de ecuaciones lineales. Las cantidades desconocidas se representan con letras, por ejemplo: x, y, etc. y se establece un sistema de ecuaciones que satisfagan las diversas condiciones del problema. La resolución de este sistema conduce a los valores de las incógnitas.


Problemas Propuestos:

PROBLEMA 1.- El costo total de 5 libros de texto y 4 lapiceros es de $32.00; el costo total de otros 6 libros de texto iguales y 3 lapiceros es de $33.00. Hallar el costo de cada artículo.

 PROBLEMA 2. Hallar dos números tales que la suma de sus recíprocos sea 5, y que la diferencia de sus recíprocos sea 1.

PROBLEMA 3.  Si a los dos términos de una fracción se añade 3, el valor de la fracción es 1/2 , y si a los dos términos se resta 1, el valor de la fracción es 1/3. Hallar la fracción.

PROBLEMA  4.  Se tienen $120.00 en 33 fichas  de a $5 y de a $2. ¿Cuántas fichas son de $5 y cuántos de $2?
 EL SISTEMA DE ECUACIONES DE 2 X 2  METODOS PARA SU REALIZACION
Método de sustitución
Lo que debemos hacer:
1.- Despejar una de las incógnitas en una de las ecuaciones.
2.- Sustituir la expresión obtenida en la otra ecuación.
3.- Resolver la ecuación resultante.

4.- Calcular la otra incógnita en la ecuación despejada.
Método de reducción o eliminación 
Lo que debemos hacer:
1.- Se igualan los coeficientes de una incógnita, salvo el signo, eligiendo un múltiplo común de ambos.
2.- Puede ser el producto de los coeficientes de esa incógnita.
3.- Se suman o restan, según convenga, las ecuaciones.
4.- Se resuelve la ecuación de primer grado resultante.
5.- Se calcula la otra incógnita sustituyendo el valor obtenido en una de las ecuaciones del sistema.
Método de igualación
Lo que debemos hacer:
1.- Se despeja una de las incógnitas en ambas ecuaciones.
2.- Se igualan las expresiones, con lo que obtenemos una ecuación con una incógnita.
3.- Se resuelve la ecuación resultante.
4.- El valor obtenido se sustituye en cualquiera de las dos expresiones en las que aparecía despejada la otra incógnita.
5.- Los dos valores obtenidos constituyen la solución del sistema
método gráfico






FUNCIÓN LINEAL.. 






TUTORIA SISTEMA DE ECUACIONES DE 2 X 2  Y CON DIFERENTES METODOS

METODO DE ELIMINACION

MÉTODO DE SUSTITUCIÓN


MÉTODO DE IGUALACIÓN
 
MÉTODO GRÁFICO



MÉTODO DE SUMA Y RESTA 






TUTORIA DE LA FUNCION LINEAL


EVALUACION DEL SISTEMA DE ECUACIONES DE 2X 2
Escoge la solución correcta de los sistemas de ecuaciones en cada caso:

1.-    Ej1
Respuestas:

a)  
b) 

c)


2.-      Ej2

Respuestas: 

a)  

b)  

c)  


3.-     Ej3

Respuestas:

a)  

b

c) 


4.-   Ej3
Respuestas:

a)

b) 

c) 


Asocia a cada uno de estos problemas el sistema de ecuaciones que usarías para resolverlo:


5.- Pedro compra en una tienda de segunda mano un videojuego de fútbol y dos de boxeo por 55 dólares. Andrea compra en la misma tienda tres de fútbol y uno de boxeo por 90 dólares.

Respuestas:
a)

b)

c)

6.-  Mercedes y Carlos son hermanos y entre los dos suman 19 años. Sabiendo que la edad de Mercedes menos uno es igual a la mitad de la edad de Carlos. 

Respuestas:
a)

b)

c)

 Solución a los  problemas planteados

 PROBLEMA 1


Sea x= el costo de un libro en pesos, y  y  = el costo de un lapicero en pesos. Según el problema obtenemos las dos ecuaciones:



Para la solucion puede utilizar uno de los métodos aprendidos (Igualación, de suma y resta, grafico, o de sustitucion)
 
La solución de este sistema es de x=4, y y=3, es decir, el costo de cada libro de texto es $4.00 y el costo de cada lapicero es $3.00. Estos resultados pueden comprobarse fácilmente. Así, el costo de 5 libros de texto y 4 lapiceros es igual a 5(4) +4(3) = $32 y el costo de 6 libros de texto y 3 lapiceros es igual a 6(4) +3(3) = $33.

PROBLEMA 2

primero construyamos la ecuación tomando en cuenta lo siguiente:
 Sea x= el número menor y  y= el número mayor. La suma y la diferencia de sus recíprocos son, respectivamente,







Este no es un sistema lineal pero puede ser tratado como tal utilizando como incógnitas 1/x y 1/y. Así, sumando las dos ecuaciones tenemos:
de donde  y
Restando la segunda ecuación de la primera, obtenemos:
 de donde  y
Por tanto, los dos números son 1/3 y ½   respectivamente .


PROBLEMA 3
  Sea x el numerador y  y el denominador. Entonces x/y = la fracción.
Añadiendo 3 a cada término, la fracción se convierte en , y según las condiciones del problema el valor de esta fracción es 1/2 ; luego:
Restando 1 a cada término, la fracción se convierte en , y según las condiciones del problema el valor de esta fracción es 1/3 ; luego:

Reuniendo las dos ecuaciones tenemos el sistema de ecuaciones:








Quitando los denominadores:                


Trasponiendo y reduciendo:

                                                              




Restando:                                             

sustituyendo y reemplazando  en la segunda ecuacion tenemos:  3(5) -y = 2 
trasponiendo terminos  -y = 2 -15  en este caso la incógnita no debe ser negativa y por tanto  multiplicamos por (-1) a toda la ecuacion y tenemos:  y = -2 + 15,      y = 13

PROBLEMA 4
 Sea x= el número de fichas de $2 y  y= el número de fichas  de $5. Según las condiciones: x+y =33.

Con x fichas de $2 se tienen $2x y con y fichas de $5 se tienen $5 fichas de $5 se tienen $5y, y como la cantidad es $120, tendremos: 2x + 5y = 120.

Reuniendo las ecuaciones tenemos el sistema:

Resolviendo el sistema por cualquier metodo descrito anteriormente  se tiene que  x = 15, y y = 18; luego, hay 15 fichas de $2 y 18 fichas de $5.

 Bibliografia:

 http://www.eplc.umich.mx/salvadorgs/matematicas1/contenido/CapVI/6_8_prob_dos.htm
 http://www.vitutor.com/ecuaciones/sistemas/sis0_Contenidos_e.html

  CONSTRUCCION DE FIGURAS GEOMETRICAS Y POLIGONOS REGULARES














EL SISTEMA INTERNACIONAL DE MEDIDAS (SI). CONVERSIÓN DE UNIDADES









La Radicación.

VIDEOS TUTORIALES. 













EJERCICIOS PROPUESTOS:



1. Calcula los valores de las siguientes potencias:
a)  potencia


b)  potencia




c)potencia

d)potencia

2. Extraer factores:

a)    radical=

b)     radical=

3.  Introducir factores:

a)     radical=

b)  radical=

4. Poner a común índice:

radical

5. Realiza las sumas:

a)    radical=

b)     radical=

c)   radical=

d)   radical=


6.  Halla las sumas:

a)   operarciones

b)suma

c)suma

d)suma

7. Efectúa las sumas:
a)     radical=

b)     operarciones

8.  Realizar los productos:

a)     radical.

b)    radical.

c)    radical.

10. Efectúa las divisones de radicales:

a)      radical

b)       radical

c)    radical

10.  Calcula:

operarciones

11.  Opera:

operarciones


12.  Realiza las operaciones con potencias:

a)     radical.

b)   radical


13.  Realiza las operaciones:

a)   operaciones

b)    operaciones

c)   operaciones

d)  operaciones


14.   Calcula:

a)       operaciones


b)    operaciones

15.   Efectuar:

a)  radical.

b)  radical.

c)  operarciones

16. Racionalizar los radicales:

a)    radical.

b)    radical.

c)   operarciones.

d)  operarciones.

e)  operarciones.


17.  Racionalizar:

a)   Racionalizar=

b)    Racionalizar-

c)   Racionalizar.

d)  Racionalizar=


e) operarciones


NOTACION CIENTÍFICA







Una vez visto lo videos tutoriales es momento de realizar los siguientes ejercicios

 Ejercicios notación científica

bibliografia:

http://www.vitutor.com/di/re/r_e.html

http://www.ejerciciosweb.com/potencias/ejercicios-notacion-cientifica.html


Bienvenidos a la tutoria de Matemáticas para los décimo Año de Educación Básica.




Matemáticas para Décimo
Objetivos educativos del año:
·         Reconocer una función lineal por medio del análisis de su tabla de valores, gráficos o ecuación conociendo uno de los tres modelos anteriores, determinar los otros dos para comprender y predicar variaciones constantes.
·         Aplicar el patrón de la función lineal y sus valores relevantes en la resolución de problemas de la vida cotidiana.
·         Contrastar la función lineal con la función exponencial para comprender las diferencias entre variaciones constantes y variables.
·         Representar y resolver un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas a través de gráficos y de algebraicamente para aplicarlos en la solución de situaciones concretas.
·         Aplicar el teorema de Pitágoras para deducir y entender las funciones trigonométricas y las fórmulas usadas en el cálculo de perímetros, áreas, volúmenes, ángulos de cuerpos y figuras geométricas con el propósito de alcanzar un mejor entendimiento de su entorno.
·         Realizar conversiones con unidades de medida del SI y con otros sistemas a través de la comparación y el cálculo, para comprender las equivalencias con unidades usadas comúnmente en nuestro medio.
·         Recolectar, representar y analizar datos estadísticos y situaciones probabilísticas relacionadas con lugares históricos, turísticos y bienes naturales, para fomentar y fortalecer la apropiación y cuidado de los bienes culturales y patrimoniales del Ecuador.

Planificación por bloques curriculares:
Bloque numérico
Destrezas con criterio de desempeño:
·         Transformar cantidades expresadas en notación decimal a notación científica con exponentes positivos y negativos. (P,A)
·         Resolver operaciones combinadas en adición, sustracción, multiplicación, división, potenciación y radicación con números reales. (P,A)
·         Racionalizar expresiones algebraicas y numéricas. (P,A)
·         Evaluar y simplificar potencias de números enteros con exponentes fraccionarios. (C,P)
·         Simplificar expresiones de números reales con exponentes fraccionarios con la aplicación de las reglas de la potenciación y radicación. (P,A)
       Bloque de relaciones y funciones
       Destrezas con criterio de desempeño:
·         Construir patrones de crecimiento lineal con su ecuación generadora. (P,A)
·         Evaluar si una función lineal es creciente o decreciente en la base de su tabla de valores, gráfico o ecuación. (C)
·         Determinar la ecuación de una función lineal si su tabla de valores, su gráfico o dos puntos de esta función son conocidos. (C,P)
·         Reconocer una función exponencial con la base de su tabla de valores. (C,P)
·         Evaluar si una función exponencial es creciente o decreciente. (C,P)
·         Operar con números reales aplicados a polinomios. (P,A)
·         Representar y resolver un sistema de dos ecuaciones lineales con dos  incógnitas, con gráficos y algebraicamente. (P,A)
      Bloque geométrico
      Destrezas con criterio de desempeño:
·         Aplicar el teorema de Pitágoras en el cálculo de áreas y volúmenes. (P,A)
·         Calcular volúmenes de pirámides y conos con la aplicación del teorema de Pitágoras. (P,A)
·         Calcular medidas de ángulos internos en polígonos regulares de hasta seis lados para establecer patrones. (P,A)
·         Calcular áreas laterales de conos y pirámides en la resolución de problemas. (C,A)
·         Reconocer ángulos complementarios, suplementarios, coterminales y de referencia en la resolución de problemas. (A)
·         Definir las razones trigonométricas en el triángulo rectángulo. (C)
·         Aplicar las razones trigonométricas en el cálculo de longitudes de lados de triángulos rectángulos. (C,A)
       Bloque de medida
       Destrezas con criterio de desempeño:
·         Realizar reducciones y conversiones de unidades SI y de otros sistemas en la resolución de problemas. (P,A)
·         Reconocer medidas en radianes de ángulos notables en los cuatro cuadrantes. (C,P)
·         Realizar conversiones de ángulos entre radianes y grados.
        Bloque de estadística y probabilidad
        Destrezas con criterio de desempeño:
·         Calcular media aritmética de una serie de datos reales. (C,P)
·         Calcular probabilidades simples con el uso de fracciones. (A)







ÍNDICE
Módulo 1: Superando obstáculos
Bloque numérico: Operaciones combinadas de números reales
·         Los números reales  
 Los números reales
La unión de los racionales y los irracionales forma el conjunto de los números reales.
El conjunto de los reales, con el orden inducido por el orden ya visto en ,   y   es un conjunto totalmente ordenado.
Teniendo eso en cuenta, se puede representar gráficamente el conjunto de los reales con una recta, en la que cada punto representa un número.
Muchas de las propiedades que hemos visto para los conjuntos  son heredadas por .
Como ya se ha visto,  es denso en  . También  es denso en .
Podemos considerar  como el conjunto de todos los límites de sucesiones cuyos términos son números racionales.
A diferencia de lo visto para , el conjunto de los reales no es numerable. Los números racionales
Si se necesita además dividir, surgen los números racionales (o fraccionarios, o quebrados),
={... 1/2,  5/3,  8/10,  238476/98745, ...... }
  • Los racionales se obtienen a partir de los enteros añadiendo los inversos para la multiplicación.
    • La suma de dos racionales a/b y c/d se define como a/b+c/d=(ad+cb)/bd.
    • El producto de dos racionales a/b y c/d se define como ac/bd.
    • Dos números racionales a/b y c/d son iguales si y sólo si ad=bc.

         (En todo lo anterior, a, b, c y d denotan números enteros)
    • Un número racional se dice que está expresado mediante una fracción irreducible si el numerador y el denominador no tienen factores comunes.
    De este modo, el conjunto de los racionales, con las operaciones de suma y producto tiene estructura de cuerpo conmutativo.
  • En se pueden resolver todas las ecuaciones lineales, es decir, aquéllas de la forma ax+b=0, con a y b racionales.
  • En se puede definir un orden total compatible con las operaciones suma y producto definidas anteriormente y que extienda el orden existente en y en . Para ello basta con definirlo como sigue:

      Dados dos números racionales a/b y c/d, donde b y c son enteros positivos (esto siempre puede conseguirse, por ejemplo, si b es negativo basta con multiplicar a y b por -1 para obtener un número racional igual que el dado pero con denominador positivo), se dice que si y sólo si respecto del orden existente en el conjunto de los enteros.
    Por tanto con dicho orden es un conjunto totalmente ordenado.

  •  
  • Densidad del orden:
    Dados dos números racionales distintos, , siempre existe otro número racional tal que .
      Para ello, si    , con  b y d positivos, basta con tomar 

      Ejercicio: probar que efectivamente  (por ejemplo, entre  3/5 y 2/3 se encuentra 5/8)
    Ahora bien, reiterando el proceso de intoducir un racional entre cada dos racionales distintos es claro que entre dos racionales distintos existen infinitos racionales distintos,
     
      Por ejemplo, ahora entre 3/5 y 5/8 se encuentra 8/13, entre 3/5 y 8/13 se encuentra 11/18, etc., tenemos asi 3/5 < ...... < 11/18 < 8/13 < 5/8 < 2/3.
    por eso se dice que el conjunto de los racionales es un conjunto denso. No tiene sentido hablar del racional siguiente o anterior a uno dado. Esto es algo que no ocurría ni en el conjunto de los naturales ni en el de los enteros.
     
  • Propiedad arquimediana (o de Arquímedes):
    Dados dos números racionales y , siempre existe un n natural tal que .   Esto quiere decir que por pequeño que sea , si consideramos la sucesión de racionales , llegará un momento en que sobrepasasaremos a , por muy grande que este sea.
      Por ejemplo:
    Esta es una propiedad que también poseían los números naturales y los enteros.
     
  • El cardinal de los racionales:
    ¿Cuántos números racionales hay? ¿Qué hay más, naturales o racionales?

    Puede parecer que la respuesta sería, obviamente hay más racionales, puesto que los naturales son también números racionales, y además hay otros racionales, como 1/2 por ejemplo, que no son naturales, por lo que podemos concluir que el cardinal de los racionales es que el de los naturales. Pero podemos también probar que hay más naturales que racionales. Una forma de hacerlo sería seguir el siguiente razonamiento gráfico. Coloquemos los enteros en un eje horizontal, y también en un eje vertical. Cada punto (a,b) del retículo que se forma representará al racional a/b. Comenzamos ahora a trazar un camino en espiral, partiendo del origen que recorra uno a uno todos los puntos del retículo como se ve en la siguiente gráfica:
     


    Es claro que podemos poner en correspondencia biyectiva los puntos del retículo con los naturales sin más que irlos numerando a medida que la linea espiral pasa por cada uno de ellos. Ahora bien, no todos los puntos del retículo se corresponden con números racionales, ya que los de la forma (n,0) no se corresponden con ningún racional, y además muchos puntos del retículo representan al mismo número racional, por ejemplo (1,2) y (2,4) representan al mismo número racional, ya que 1/2=2/4. De aquí se concluye que podemos dar una correspondencia sobreyectiva de  en , y por tanto que el cardinal de  es  que el cardinal de . Combinando ambos resultados podemos concluir que el cardinal de  es igual que el de , es decir, que  es un conjunto infinito numerable.
    Ejercicio: encontrar un correspondencia biyectiva entre .

  • Representación decimal de números racionales:

    Todo número racional admite una representación decimal, que es la que se obtiene al dividir el numerador entre el denominador, por ejemplo 1/2 tiene como expresión decimal 0.5 ,     3405/25=136.2  y 1/3= 0.33333....... Esto puede dar lugar a dos tipos de expresiones decimales, las exactas y las periódicas. Éstas últimas pueden a su vez dividirse en periódicas puras o periódicas mixtas.

    • Expresión decimal exacta, es aquélla que tiene un número finito de términos. Por ejemplo: 0.5,    1.348  ó    367.2982345
      Esta expresiones surgen de números racionales cuyo denominador (en la expresión irreducible) sólo contiene los factores 2 y 5. Por ejemplo 1349/1000, 40/25, ...
    • Expresión decimal periódica es aquélla que tinene un número infinito de cifra decimales, pero de modo que un grupo finito de ellas se repite infinitamente, de forma periódica, por ejemplo 0.333333.....,    125.67777777.......  ó    3.2567256725672567......
      Surgen de fracciones cuyo denominador contiene factores distintos de 2 y 5, por ejemplo, 1/3=0.33333.....
      La parte que no se repite se denomina anteperíodo y la que se repite, período.
      • Periódica pura es aquélla que no tiene anteperíodo.
      • Periódica mixta es aquélla que sí tiene anteperíodo.
      Podría considerarse que las expresionas decimales exactas son periódicas mixtas pero con período 0. 
     Los números irracionales

    Hay números que no son racionales, es decir que no pueden ser expresados como cociente de dos números enteros. Por ejemplo, piensa en el número cuya representación decimal es
    0.1234567891011121314151617181920........
    claramente, esta representación decimal no es exacta ni periódica, por tanto no puede corresponderse con ningún número racional.

    Veamos otros ejemplos.

    Se trata de un ejemplo típico de número no racional con una demostración muy sencilla de que, en efecto, no puede ser racional



    En el siguiente recuadro puedes ver las primeras 100 cifras decimales de . Además se muestra una manera de construir el número  sobre la recta real con regla y compás y finalmente se da una serie de números racionales que converge hacia .
     
     




    Para construir la serie que converge hacia  hemos usado obviamente la sucesión de cifras decimales indicada más arriba. También podíamos haber definido una sucesión de números racionales que converge hacia de la forma siguiente
    donde  es el mayor número entero que verifica .

    p
    Otro de los ejemplos cásicos de números irracionales que estamos acostumbrados a manejar es el conocido por la letra griega Pi que representa la relación entre el perímetro y el diámetro de una circunferencia.
    A diferencia de lo que ocurre con , no es posible dibujar con regla y compás el número  sobre la recta real. El problema es conocido como la rectificación de la circunferencia y hay métodos algebraicos para demostrar que no tiene solución, a pesar de que mucha gente la buscó durante siglos (y algunos siguen buscándola hoy en día). Otros problemas de parecida índole son los famosos de la cuadratura del círculo, que consiste en construir con regla y compás un cuadrado que tenga el mismo área que un círculo dado, y la trisección del ángulo, que consiste en dividir un ángulo dado en tres partes iguales. Todos ellos son imposibles con regla y compás y puede demostrarse algebraicamente su imposibilidad.
    En el siguiente recuadro tienes las primeras cien cifras decimales de y además una serie de números racionales que converge hacia .
    La serie indicada es conocida como serie de Leibniz y hemos de advertir que su convergencia es bastante lenta. ¿Cuántos términos te hace falta sumar para obtener 10 cifras decimales correctas?



    También el número , base de los llamados logaritmos naturales o neperianos es un número irracional. Este número surge de forma natural al considerar el interés compuesto.
    Supongamos que tenemos un capital unidad a un interés anual  (en tanto por uno). Al cabo del año nuestro capital será .
    Sin embargo, si dividimos el año en dos semestres e incorporamos el interés al finalizar cada uno dos semestres, al final del primer período tendremos  y al finalizar el año 
    Si dividimos el año en tres cuatrimestres, incorporando los intereses al capital al final del cada período, tendremos  respectivamente al final de cada cuatrimestre.
    ...
    Si dividimos el año en n períodos tendremos al final del año .
    Se define  como el límite del resultado anterior cuando n se hace infinitamente grande (infinitos períodos infinitamente pequeños), siendo , es decir
    En el recuadro siguiente vemos las 100 primeras cifras decimales de , así como dos formas de ver  como límite de sucesiones de números racionales (en el segundo caso se trata de una serie).



    Igual que pasaba con , no es posible dibujar con regla y compás un punto en la recta real a distancia del origen.
    Si consideramos el conjunto de todas las expresiones decimales, solamente aquéllas finitas o periódicas se corresponderán, como ya se vio, con números racionales; el resto forman el conjunto de los números irracionales.
    El conjunto de los irracionales, denotado por  tiene, como , la propiedades de orden total, densidad y propiedad arquimediana. En cambio  no es un conjunto numerable. ¿Se te ocurre alguna forma de probar que  no es numerable?
    (pincha aquí para ver una forma de demostrarlo)
    Ya se ha visto para los ejemplos mostrados, pero se puede afirmar en general que todos los números irracionales pueden verse como límites de sucesiones de números racionales. Para ello basta con considerar la expresión decimal del número en cuestión y construir la sucesión obvia que consiste en considerar cada vez un cifra decimal más, de modo que el término  es la fracción que da lugar a la expresión decimal exacta formada por las n primeras cifras del número dado.

·         Evaluación y simplificación de expresiones de números enteros y reales con exponentes fraccionarios


Exponentes Fraccionarios

Objetivo de Aprendizaje
·         Simplificar expresiones algebraicas con exponentes fraccionarios.

Introducción

Las raíces cuadradas a menudo se escriben usando un signo de radical:. Pero hay otra forma de representar el cálculo de una raiz .  Podemos usar exponentes fraccionarios en lugar de un radical

¿No te puedes imaginar cómo elevar un número a una potencia fraccionaria? Puede que sea difícil acostumbrarse, pero los exponentes fraccionarios pueden incluso ayudar a simplificar algunos problemas. Veamos cómo funcionan estos exponentes fraccionarios que llamamos radiales racionales.

Fracciones en los Exponentes

Los radicales y los exponentes son operaciones inversas. Por lo que puede sorprenderte un poco saber que un radial puede ser expresado como un número exponencial. La tabla de abajo muestra algunos ejemplos de raíces cuadradas comunes escritas como radicales, exponentes fraccionarios y enteros. Nota que el denominador de un exponente fraccionario es el número 2.

Radical
Exponente
Entero
4
5
10

Veamos otros ejemplos, pero esta vez con raíces cúbicas. Recuerda, el cubo de un número es el número elevado a la tercera potencia. Nota que en estos ejemplos, el denominador del exponente fraccionario es el número 3.

Radical
Exponente
Entero
2
5
9


Estos ejemplos nos ayudan a modelar una relación entre los radicales y los exponentes fraccionarios: a saber, que la enésima raíz de un número puede escribirse ya sea como  o.

Radical
Exponente


"La raíz quinta del número 243" puede escribirse como:

A)

B)

C)

D)




Más Allá de Fracciones Unitarias

Todos los numeradores de los exponentes fraccionarios en los ejemplos que hemos visto eran 1. Podemos usar otro tipo de exponentes además de fracciones unitarias, como se muestra abajo. ¿Notas algún patrón emergente en la tabla?

Radical
Exponente

Para escribir un radical como un exponente fraccionario, la potencia a la cual elevamos la base se convierte en el numerador y la raíz se convierte en el denominador.

Escribiendo Exponentes Fraccionarios

Cualquier radical en la forma  pude escribirse como un exponente fraccionario en la forma.


Esto también tiene sentido para nuestros exponentes con fracciones unitarias  puede escribirse como , ya que cualquier número sigue siendo el mismo si lo elevamos a la primera potencia. Ahora sabemos de dónde viene el numerador de 1 en la forma equivalente de .


Trabajando con Exponentes Fraccionarios

Los exponentes fraccionarios no son usados a menudo, además de las fórmulas avanzadas en los altos niveles de las matemáticas y la ciencia. Pero ocasionalmente son útiles para simplificar expresiones algebraicas.

Exploremos algunas expresiones radicales para ver cómo. Aquí tenemos una expresión radicar que necesita ser simplificada, .

Un método para simplificar esta expresión es factorizar y sacar grupos de a3, como se muestra:




También podemos simplificar la expresión si pensamos en el radical como un exponente fraccionario, y usamos el principio de que cualquier radical en la forma  puede escribirse como un exponente fraccionario en la forma :
 

 

 

Nota que los exponentes fraccionarios están sometidos a las mismas reglas que los exponentes que aparecen en expresiones algebraicas.

Ambos métodos de simplificación nos dan el mismo resultado, a2. Dependiendo del contexto del problema, podría ser más fácil usar un método u el otro, por ahora, notemos que fuimos capaces de simplificar esta expresión más rápido usando exponentes fraccionarios que usando el método de "sacar".

Intentemos una expresión más complicada, . ¡Caray! Esta expresión tiene dos variables, una fracción, y un radical. Es un poco intimidante. La tomaremos paso a paso para ver si el usar exponentes fraccionarios nos puede ayudar a simplificarla.

Empezaremos por simplificar el denominador porque es en donde se localiza el radical.


Ejemplo
Problema
Simplificar 



Separar los términos del denominador

Calcular la raíz de 8, que es 2

Reescribir el radical como un exponente

Reescribir la fracción como una serie de factores con el fin de cancelar términos (ve el siguiente paso)

Simplificar la constante y términos c

Usar la regla de los exponentes negativos,
n-x=, para reescribir  como

Combinar los términos b al sumar los exponentes

Regresar el exponente a su forma radical. Por convención, una expresión no se considera simplificada si tiene un exponente fraccionario o un radical en el denominador
Solución




Bueno, eso tomó un rato, pero lo logramos. Aplicamos lo que sabemos sobre exponentes fraccionarios, exponentes negativos y las reglas de los exponentes para simplificar la expresión.


Simplificar

A)

B)

C)

D)



Sumario
Un radical puede ser expresado como un valor con un exponente fraccionario siguiendo la convención =. Reescribir radiales como exponentes fraccionarios puede ser útil para simplificar algunas expresiones radicales. Cuando trabajes con exponentes fraccionarios, recuerda que están sujetos a todas las reglas de los otros exponentes que aparecen en expresiones algebraicas.
·         Operaciones combinadas con radicales 

OPERACIONES CON RADICALES

  1. Sumas y restas

Para que varios radicales se puedan sumar o restar tienen que ser equivalentes, o sea tener el mismo índice y el mismo radicando.

Ejemplos:

a)                O sea que se suman o restan los números que están fuera y la raíz queda igual.

b)                        Estos radicales no son semejantes pues los radicandos no son iguales, 20, 45 y 5. Pero vamos a extraer de cada radical todos los factores que se puedan:


Ahora si son semejantes y podemos sumarlos



c)  No son semejantes


 se suman los que son semejantes

 y ya no podemos hacer nada más

  1. Multiplicaciones y divisiones

Para que dos radicales se puedan multiplicar o dividir basta que tengan el mismo índice.

Ejemplos:

d)

e)

f)  no tienen el índice común. Para reducir a índice común se hace igual que para reducir a denominador común.

 ahora si se pueden multiplicar
  

g)
·         Racionalización de expresiones algebraicas

Racionalización y Expresiones Algebraicas


Racionalización:
El tema que hemos estado realizando esta semana y la anterior ha sido: Racionalización. Este tema consiste en eliminar una raíz, ya sea cuadrada, cúbica, quinta, etc. del denominador de una fracción.
Para realizar este proceso, es necesario tener en cuenta que
- La raíz este simplificada. Ejemplo:

Explicación:
En este ejercicio lo que tenemos que hacer es descomponer a 12 en factores primos = 2 al cuadrado por 3. Como la raíz es cuadrada y el 2 tiene exponente 2 se puede simplificar y nos quedaría 2 raíz cuadrada de 3. 
Para racionalizar, tenemos dos casos, el primero es cuando el índice de la raíz es 2. El segundo caso es cuando el índice de la raíz es un valor mayor que 2.
Caso 1: raíz cuadrada

Explicación:
En este ejercicio lo que tenemos que hacer es eliminar la raíz que se encuentra en el denominador y para eso tenemos que multiplicarla por ella misma, para así conseguir que el exponente se pueda simplificar con el índice. 

Numerador:
Multiplicamos 6 por raíz cuadrada de 2 = 6 raíz cuadrada de 2.
Denominador: 
Multiplicamos raíz cuadrada de 2 por raíz cuadrada de dos = raíz cuadrada de 2 al cuadrado.
Simplificamos el exponente con el índice y nos quedaría 2. 
Al final podemos simplificar el 6 con el 2 sacándoles mitad = 3 raíz cuadrada de 2. 
Caso 2: raíz no es cuadrada. 

Explicación:
En este caso no podemos multiplicar a la raíz del denominador por su mismo valor porque nos faltarían números para que el índice y el exponente tenga el mismo valor. Lo que debemos hacer es buscar cuánto le falta a 7 para llegar a ser 7 al cubo.                                              
Numerador:
Multiplicamos 4 por raíz cúbica de 7 al cuadrado = 4 raíz cúbica de 7 al cuadrado.
Lugo resolvemos la potencia y nos daría 4 raíz cúbica de 49.
Denominador: 
Multiplicamos 2 raíz cúbica de 7 por raíz cúbica de 7 al cuadrado = 2 raíz cúbica de 7 al cubo.
Ya que los valores del exponente y del índice son iguales, podemos eliminarlos simplificándolos. 
Lo único que nos queda por hacer es 2x7=14 
Al final simplificamos el 4 con el 14 porque ambos tienen mitad y el resultado final es: 2 raíz cúbica de 49 sobre 7.

Expresiones Algebraicas:

Para poder realizar y resolver las expresiones algebraicas debemos recordar:
1. Las propiedades de la potenciación y la radicación



Propiedades de las potencias
 
Propiedades de las  raices
2. Las operaciones con radicales
2.1 Operaciones con radicales


































Estructura y soluciones de un radical

Operaciones con radicales

Operaciones con radicales

Producto de radicales

Producto de radicales.

Cociente de radicales

Cociente de radicales.

Suma de radicales

Suma de radicales.

Raíz de raíz

Raíz de raíz
3. Áreas de figuras planas y volúmenes de sólidos geométricos







LAS EXPRESIONES ALGEBRAICAS

Las expresiones algebraicas están conformadas por números y letras, que funcionan como variables, relacionadas por operaciones aritméticas.

Una expresión algebraicas es una reunión finita de números y letras con exponentes racionales y fijos relacionados con las operaciones de suma, resta, multiplicación, división, potenciación y radicación.

Constante: símbolo que admite 1 valor definido.
Variable: símbolo que admite cualquier valor, dependiendo de la expresión de la que forma parte.

Ejemplo:    (a – 3)2



Clases de expresiones algebraicas: según el exponente, las expresiones algebraicas pueden ser de tres tipos:

1. Racional entera: variable con exponente natural.





2. Racional fraccionaria: variable con exponente entero negativo.

·        
3. Irracional: variable con exponente fraccionario.




Término Algebraico: es aquella expresión algebraica en la no se enlaza a las variables mediante la suma o la resta. Está formado por el coeficiente y la parte literal.

Ejemplo:


12: coeficiente
x a la 4 y y a la 3: parte literal



Términos semejantes: dos o más términos son semejantes entre sí, si tienen la misma parte literal.

Ejemplo:




Ejercicios:













  







 Notación científica
 




La Notación Científica 

La notación científica nos ayuda a poder expresar de forma más sencilla aquellas cantidades
numéricas que son demasiado grandes o por el contrario, demasiado pequeñas.
Se conoce también como Notación Exponencial y puede definirse como el Producto de un número que se encuentra en el intervalo comprendido del 1 al 10, multiplicándose por la potencia de 10.
Por ejemplo, tenemos la siguiente cantidad:
139000000000 cm.

Ahora lo llevamos a la mínima expresión y tenemos como respuesta:
Notación Científica
¿Cómo lo llevamos a la mínima expresión?
  1. Primero, empezaremos a contar los espacios que separan a cada número de derecha a izquierda, hasta llegar al último número entero.
  2. Antes de llegar a dicho número, separamos la cantidad con un punto dejando como compañía dos decimales más, (en éste caso 3 y 9).
  3. Por último, multiplicamos la cantidad (1.39) por 10 (que es la base) y lo elevamos a la potencia 11 (Ya que son 11 espacios que separan a cada número).
Veamos otro ejemplo, tenemos 0.000096784 cm.

En éste caso, el procedimiento será de la siguiente manera:
  1. Partiremos desplazando el punto de derecha a izquierda, hasta llegar al primer número diferente de cero (en éste caso 9).
  2. Separamos el número seguido por dos decimales (6 y 7) multiplicado por 10 como base constante.
  3. La potencia, a diferencia del primer ejemplo, será negativa ya que contamos de izquierda a derecha, tomando en cuenta únicamente los números enteros.
Es decir, que tenemos como resultado:
Notación Científica
O bien:
notacion cientifica
Aproximado, en donde la respuesta también sigue siendo válida.


Cabe mencionar, que se seleccionaron únicamente los números enteros, debido a que en términos matemáticos los ceros a la izquierda no cuentan y no deben ser incluidos.
La Notación Científica puede utilizarse en las Operaciones Algebraicas Básicas que conocemos: Suma, Resta, Multiplicación y División.
Hagamos un ejemplo con cada una de las operaciones.


Bloque de Relaciones y Funciones: Polinomios, operaciones con números reales
Bloque de Medida: Reducciones y conversiones de unidades SI y otros sistemas
·         El sistema internacional de pesos y medidas SI y otros
·         Banco de ejercicios y problemas
·         Evaluación sumativa
Proyecto 1: Midiendo la fuerza de los objetos
MatemáticaMENTE
Autoevaluación

Módulo 2: Grandes Civilizaciones
Bloque de Medida: Medidas en radianes de ángulos notables
·         Medidas en radianes en ángulos notables
·         Conversiones de ángulos
Bloque geométrico: Ángulos complementarios y suplementarios
·         Tipos de ángulos: complementarios, suplementarios, coterminales, de referencia
·         Clasificación de los ángulos según su medida
·         Ángulos coterminales y de referencia
·         Clasificación de sus ángulos según su posición
·         Clasificación de sus ángulos según su forma
·         Clasificación de sus ángulos según las rectas paralelas que los forman
·         Clasificación de ciertos ángulos según su relación con el círculo
·         Banco de ejercicios y problemas
·         Evaluación sumativa

Proyecto 2: Tarjeta matemática
·         MatemáticaMENTE
·         Autoevaluación

Módulo 3: Rectas que forman figuras
Bloque Geométrico: Ángulos internos de polígonos regulares
·         Características generales
·         Rectas y puntos notables en un polígono regular
·         Ángulos de polígonos regulares
·         Semejanza entre polígonos regulares
·         Polígono regulares ya estudiados
·         Propiedad del hexágono regular
Bloque de Relaciones y Funciones: Función lineal
·         Gráfica de una función y tabla de valores
·         Función lineal
·         Banco de ejercicios y problemas
·         Evaluación sumativa
Proyecto 3: Polígonos y ecuaciones
·         MatemáticaMENTE
·         Autoevaluación

Módulo 4: Crecemos exponencialmente
Bloque Geométrico: Áreas laterales de pirámides y conos
·         Área lateral de una pirámide
·         Área lateral de un cono
·         Problemas sobre áreas de pirámides y conos
Bloque de Relaciones y Funciones: Función exponencial
·         Función exponencial
·         Banco de ejercicios y problemas
·         Evaluación sumativa
Proyecto 4: Crecemos exponencialmente
·         MatemáticaMENTE
·         Autoevaluación

Módulo 5: Proponiendo soluciones
Bloque de Relaciones y Funciones: Sistemas de ecuaciones lineales
Sistemas de ecuaciones lineales
Bloque Geométrico: Volumen de pirámides y conos
·         Volumen de una pirámide
·         Volumen de un cono
·         Banco de ejercicios y problemas
·         Evaluación sumativa
Proyecto 5: Emprendiendo juntos
·         MatemáticaMENTE
·         Autoevaluación

Módulo 6: Constancia en el trabajo
Bloque Geométrico: Razones trigonométricas
·         Razones trigonométricas
·         Resolución de triángulos rectángulos
Bloque de Estadísticas y Probabilidad: Media Aritmética
·         Probabilidades
·         Banco de ejercicios y problemas
·         Evaluación sumativa
Proyecto 6: Probablemente cierto
·         MatemáticaMENTE
·         Autoevaluación

BIBLIOGRAFIA:

http://www.montereyinstitute.org/courses/Algebra1/COURSE_TEXT_RESOURCE/U07_L3_T4_text_final_es.html

http://wmatem.eis.uva.es/~matpag/CONTENIDOS/Reales/marco_reales.htm

 http://blogmate2dod.blogspot.com/2013/06/racionalizacion-y-expresiones.html

http://www.vadenumeros.es/cuarto/operaciones-con-radicales.htm

http://www.aulafacil.com/cursos/l9895/ciencia/fisica/fisica-general-i-notaciones-cientificas-funciones-trigonometricas/notacion-cientifica


CUESTIONARIO DE MATEMÁTICAS PARA DÉCIMO.

 1. Extraer factores:

a)    radical=
b)     radical=

2,-  Efectúa la división  de radicales:

     radical


3.- Compruebe la Suma  siguiente y diga cual es el procedimiento que siguió :




4.- Realiza el producto:

a)     radical.

b)      radical


5.- Verdadero o Falso . En los espacios en blanco de la tabla ponga una "V" si es verdadero o una"F" si es falso lo siguiente:

 RADICAL
EXPONENTE 
ENTERO 
Verdadero  (V)
Falso  (F)


 3




 5




 10




 6




 9




6.- COMPLETE:  Con las siguientes palabras:  numerador,   racionales,  denominador complete en los espacios en blanco a lo que corresponda.

a)    La unión de los números  .................. y los números  irracionales forma el conjunto de los números reales.

b)  Todo número racional admite una representación decimal, que es la que se obtiene al dividir el ........................ entre el .............................., por ejemplo 1/2 tiene como expresión      decimal 0.5


7..-   UNA CON UNA LÍNEA LO CORRECTO:
















8.- Con los siguientes datos:












CONTESTE LO SIGUIENTE:
a)      ¿Cuantas chicas de 8EGB practican Futbol?.................................
b)      ¿Cuántos chicas juegan Baloncesto?............................
c)       ¿Cuántas chicas de 8EGB y 1Bachillerato  practican atletismo?……………………..

9.- Calcule el área de una circunferencia que tiene un radio de 8,5 cm.. 








10.- Construya un octógono inscrita en una circunferencia y trace sus diagonales




PROBLEMAS:
11.-  Calcule la distancia que ha de recorrer el caminante para llegar al castillo




  














12.-   Con los siguientes datos : A = ( 8 , - 3 )  ;  B =( 9 , -2) ;  C=( -4. -9) grafique esos puntos en un plano cartesiano





















































































































































































































































































































































































































Resolución por el metodo gráfico



Los siguientes videos le ayudarán a resolver algunos de los sistemas propuestos


















PRESENTACION DEL DOCENTE TUTOR



Estimados Alumnos

Bienvenidos y en hora buena por haber tomado sus estudios en la Modalidad a Distancia. La competencia profesional es cada día más difícil. Si bien un título por sí solo no tiene significado si no está respaldado por conocimientos sólidos, en mayor desventaja aún se encuentra quien no tiene ni título ni conocimientos.



Usted sabe que el camino por recorrer no es fácil. En una maratón, miles son los que se inscriben y arrancan con el pito de partida; sin embargo apenas unos pocos son los que llegan a la meta.


Trate desde ahora, con toda decisión, de ser de los que llegan y no solo de los que arrancan.


Puede haber y de hecho habrá dificultades en el camino, incluso caídas. Esto es normal a lo largo de nuestras vidas, pero piense que lo importante no es no caer sino siempre saber levantarse y seguir adelante.



Recuerde la canción:     “También me dijo un arriero

                                          que no hay que llegar primero

                                          si no que hay que saber llegar”.



Que las dificultades no le rindan sino, por el contrario, que le den más coraje para seguir adelante con mayor ahínco.


El sacrificio de ahora es la simiente que fructificará en el triunfo de mañana, con el riego diario del esfuerzo.


De usted depende. . . . . . . . . . . . . .   ¡adelante!



Su amigo


Marco Cevallos

TUTOR DE LA ASIGNATURA DE MATEMÁTICAS






OBJETIVOS EDUCATIVOS DEL AÑO

  • Reconocer una función lineal por mdeio del análisis de su tabla de valores, gráfico o ecuación y conociendo uno de los tres modelos anteriores, determinar los otros dos para comprender y predecir variaciones constantes.
  • Aplicar el patrón de la función lineal y sus valores relevantes en la resolución de problemas de la vida cotidiana.
  •  Contrastar la función lineal con la función exponencial para comprender las diferencias entre variaciones constantes y variables
  • Representar y resolver un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas a través de gráficos y algebraicamente para aplicarlos en la solución de situaciones concretas.
  • Aplicar el Teorema de Pitágoras para deducir y entender las funciones trigonométricas y las fórmulas usadas en el cálculo de perímetros,áreas, volúmenes, ángulos de cuerpos y figuras geométricas con el propósito de alcanzar un mejor entendimiento de su entorno.
  • Realizar conversiones con unidades de medidas del SI y con otros sistemas a través de la comparación y del cálculo, para comprender las equivalencias con unidades usadas comúnmente en nuestro medio-
  • Recolectar, representar y analizar datos estadísticos y situaciones probabilísticas relacionadas con lugares históricos, turísticos y bienes naturales, para fomentar y fortalecer la apropiación y cuidado de los bienes culturales y patrimoniales del Ecuador.

Contenidos para la tutoría de Matemáticas para Décimo Año de Educación Básica

BLOQUE DE RELACIONES Y FUNCIONES

  • Función lineal
  • Patrón creciente o decreciente
  • Tabla de valores
  • Gráfica
  • Ecuación

  • Función Exponencial
  • Patrón generador
  • Tendencia creciente o decreciente

  • Sistema de dos ecuaciones lineales con dos incognitas
  • Representación gráfica
  • Resoluciones algebraicas

  • Polinomios
  • Operaciones con números reales

BLOQUE NUMÉRICO

  • Notación científica
  • Expresión decimal con exponentes positivos y negativos

  • Expresiones Algebraicas y numéricas
  • Simplificación
  • Racionalización

  • Números Reales
  • Resolución con operaciones combinadas de adición, sustracción, multiplicación, división, potenciación y radicación
  • Exponentes fraccionarios

BLOQUE DE GEOMETRÍA
  • Teorema de Pitágoras
  • Aplicaciones en áreas y volúmenes
  • Resolución de Problemas

  • Pirámides y conos
  • Volumen
  • Áreas laterales

  • Razones Trigonométricas
  • Definición
  • Aplicación a la resolución de tríangulos rectángulos
  • Resolución de problemas

  • Ángulos
  • Internos en polígonos regulares
  • Complementarios, suplementarios , coterminales y de referencia.

 BLOQUE DE MEDIDA

  • Ángulos notables
  • Medidas en radianes en los cuatro cuadrantes
  • Conversiones de ángulos entre radianes y grados

  • Conversiones
  • Entre unidades del sistema internacional de medidas
  • Otros sistemas

BLOQUE DE ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD

  • Media aritmética
  • Cálculo
  • Resolución de Problemas

  • Probabilidades Simples
  • Cálculo
  • Representaciones Gráficas

Para poder continuar con los objetivos tratados para décimo año de Educación Básica tenemos que hacer un breve resumen de los números Reales